Question

CMR: Với mọi a,b >0

Thì \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

Em chỉ cần nhất cái chỗ dấu "=" xảy ra khi nào thôi ạ, nên mong mấy pro giải chi tiết giùm em chút~

Answer 1

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Cái này chuẩn CBS dạng đặc biệt với hai tử số bằng 1

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Answer 2

Cauchy đi mài ._.

Vì a, b > 0 nên áp dụng bđt Cauchy cho :

Bộ số a, b ta được :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Bộ số 1/a, 1/b ta được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\cdot\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân hai vế tương ứng ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b 

Answer 3

Bác ơi, sao chỗ cuối đấy ra được là : Dấu bằng xảy ra <=> a=b vậy bác?

Answer 4

Thì nó xảy ra tại \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\)

Answer 5

Bác có thể làm cái truyền thống và phù hộ cho 1 con mới học cô si như con này không ạ? CBS là gì ạ? Thoi bác làm cách trâu bò cơ bản cho iêm đi bác '-'

Answer 6

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{ab}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu"="xảy ra khi \(a=b\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Answer 7

Ta có : \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2+2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)