Question

CMR: nếu\(\left(a,b\right)=1\)thì \(\left(a^2,a+b\right)=1\)

Answer 1

Gọi d = ƯCLN(a² ; a+ b) => a² chia hết cho d;

a+ b chia hết cho d => a.(a+b) chia hết cho d hay a² + ab chia hết cho d

=> a² + ab - a² chia hết cho d

=> ab chia hết cho d mà a;b nguyên tố cùng nhau nên a chia hết cho d hoặc b chia hết cho d

+) Nếu a chia hết cho d: Ta có a + b chia hết cho d => b chia hết cho d

=> d thuộc ƯC (a;b) mà ƯCLN(a; b) = 1 => d = 1 => ƯCLN(a² ; a+ b) = 1

+) Nếu b chia hết cho d => a chia hết cho d (do a+ b chia hết cho d)

=> d thuộc ƯC (a;b) mà ƯCLN(a; b) = 1 => d = 1 => ƯCLN(a² ; a+ b) = 1

Vậy ƯCLN(a ; a+ b) = 1