Question

CMR: nếu x, y, z là nghiệm hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y+z=5\\xy+yz+zx=7\end{cases}}\)thì mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn \(\left[\frac{1}{3};3\right]\)

Answer 1

Đặt \(S=y+z,P=yz\). Khi đó hệ viết lại thành \(\hept{\begin{cases}x+S=5\\xS+P=7\end{cases}}\)

Pt trên cho ta  \(x=5-S\) nên thế xuống pt dưới được \(\left(5-S\right)S+P=7\)

Hay \(S^2-5S-P+7=0\).

Do \(4P\le S^2\) nên \(P\le\frac{S^2}{4}\), vậy \(0=S^2-5S-P+7\ge S^2-5S-\frac{S^2}{4}+7=\frac{3}{4}S^2-5S+7\).

Giải được \(2\le S\le\frac{14}{3}\).

Vậy nên \(x=5-S\) thuộc đoạn \(\left[\frac{1}{3};3\right]\).

CM tương tự ta có 2 biến còn lại cũng thuộc đoạn này.

Answer 2

bài này giống Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z=5 và... - Cùng học tập với Mỹ Hào | Facebook