Đặt A=\(n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4+n^2-2\right)\)
\(=n^2\left(n^4-n^2+2n^2-2\right)=n^2\left[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)\)
- Nếu n = 2k (k thuộc Z) thì \(A=\left(2k\right)^2\left[\left(2k\right)^2-1\right]\left[\left(2k\right)^2+2\right]\)
\(=4k^2\left(4k^2-1\right)\left(4k^2+2\right)=8k^2\left(4k^2-1\right)\left(2k^2+1\right)⋮8\)
- Nếu n = 2k + 1 thì \(A=\left(2k+1\right)^2\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\left[\left(2k+1\right)^2+2\right]\)
\(=\left(4k^2+4k+1\right)\left(4k^2+4k\right)\left(4k^2+4k+3\right)\)
\(=4k\left(k+1\right)\left(4k^2+4k+1\right)\left(4k^2+4k+3\right)\)
=>\(A⋮4.2\left(4k^2+4k+1\right)\left(4k^2+4k+3\right)=8\left(4k^2+4k+1\right)\left(4k^2+4k+3\right)⋮8\) (vì k(k+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp)
Từ 2 trường hợp trên thì A chia hết cho 8 với mọi n (1)
- Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 3
- Nếu n không chia hết cho 3
Vì n2 là số chính phương => n2 chia 3 dư 1 (vì n không chia hết cho 3) =>n2 + 2 chia hết cho 3
Ta có: \(A=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n^2+2\right)\)
Mà n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp =>n(n-1)(n+1) chia hét cho 3
=>\(A⋮3.3.n=9n⋮9\)
Từ 2 trường hợp trên A chia hết cho 9 với mọi n (2)
Mà (8,9) = 1 (3)
Từ (1),(2),(3) => \(A⋮72\left(đpcm\right)\)
