Question

Cmr: \(\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\) với mọi số thực a,b,c.

Answer 1

Do \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Nên BĐT tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ca=y\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge y\end{matrix}\right.\)

BĐT tương đương:

\(\left(x+2y\right)\left(x-y\right)^2\le x^3\)

\(\Leftrightarrow x^3-3xy^2+2y^3\le x^3\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(3x-2y\right)\ge0\)

Hiển nhiên đúng do \(3x-2y=x+2\left(x-y\right)\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab+bc+ca=0\)