Question

CMR \(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\ge\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}\) (n > 1 ; n ∈ N*)

Answer 1

BĐT chỉ đúng với điều kiện \(a;b\) dương, còn a, b âm thì sai hoàn toàn

Khi \(a;b\) dương, biến đổi tương đương:

\(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\ge\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}\Leftrightarrow\left(a^n+b^n\right)\left(a^{n-2}+b^{n-2}\right)\ge\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^{2\left(n-1\right)}+b^{2\left(n-1\right)}+a^nb^{n-2}+a^{n-2}b^n\ge a^{2\left(n-1\right)}+b^{2\left(n-1\right)}+2a^{n-1}b^{n-1}\)

\(\Leftrightarrow a^nb^{n-2}+a^{n-2}b^n\ge2a^{n-1}b^{n-1}\) (luôn đúng theo BĐT Cauchy)

Vậy BĐT được chứng minh