Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:
1, \(\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a-b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^n}\ge\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\)
2, \(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\ge4^n\left[\dfrac{1}{\left(2a+b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a+2b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a+b+2c\right)^n}\right]\)
cho 3 số thực dương a,b,c thay đổi thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\)
tìm max của \(P=\dfrac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\)
\(n\ge3;a,b,c>0\)
CMR :
\(\dfrac{1}{a^n\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^n\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^n\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn : \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\)
Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
Cho 3 số thực a,b,c thõa : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
C/m : \(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0.\)
Cm bài toán tổng quát :
giả sử a,b,c là các số thực thõa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}.\)
C/M : \(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}\forall n\in N.\)
Cho a,b,c thỏa mãn ab+ac+bc=a+b+c+abc ; 3+ab ≠ 2a+b; 3+bc ≠ 2b+c;3+ac ≠2c+a.
C/M: \(\dfrac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}+\dfrac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}+\dfrac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=1\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 CMR:
\(\dfrac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\dfrac{b^4}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}+\dfrac{c^4}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
a, Cho a,b là số thực dương và ab<1. Chứng minh \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
b, Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. Chứng minh \(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
Cho a, b, c > 0 thoã mãn: ab + bc + ca = 3. CMR: \(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\dfrac{3}{abc}\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1
Chứng minh
\(\dfrac{a^3}{\left(b+2\right)\left(c+3\right)}+\dfrac{b^3}{\left(c+2\right)\left(a+3\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+2\right)\left(b+3\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)
