Gọi dãy số trên là : N
Ta có N là 1 số nguyên thì N phải nằm giữa 2 số thự nhiên liên tiếp
=> Ta cần chứng minh : \(0>N< 1\)
Ta có : N > 0 hiển nhiên
=> Điều cần chứng minh là : N < 1
Ta có công thức tổng quát :
\(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+2+n}{n\left(n+2\right)}=\frac{2+2n}{n\left(n+2\right)}=\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+2\right)}\)
Giả sử : \(\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+2\right)}< \frac{n}{n}< 1\)đúng
Ta được : \(\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+2\right)}< \frac{n\left(n+2\right)}{n\left(n+2\right)}\Rightarrow2\left(n+1\right)< n\left(n+2\right)\Rightarrow2n+1< n^2+2n\)
Do \(n^2>1\Rightarrow2n+1< 2n+n^2\)=> \(N< 1\)
Vậy ta kl : \(0>N< 1\)
=> N ko phải là số tn
