B=(x−1)(x+8)− 15= (x−1)(x−1+9)− 15 = (x−1)2+ 9(x−1)−18+3
Giả sử B ⋮ 9
→(x−1)2+ 9 (x−1) −18+3 ⋮ 9
→(x−1)2+3 ⋮ 9
→(x−1)2+3 ⋮ 3
→(x−1)2 ⋮ 3
→(x−1)2 ⋮ 9 vì 3 là số nguyên tố
→(x−1)2+3\(⋮̸\) 9
Giả sử sai →B ⋮\(⋮̸\) 9
Để : \(B=\left(x-1\right)\left(x+8\right)-15⋮9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+8\right)-15⋮3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+8\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow x=3k+1\)
Khi : \(x=3k+1\) thì : \(\left(x-1\right)\left(x+8\right)=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+8\right)=9\cdot k\left(k+3\right)⋮9\)
Mà : \(15⋮̸9\)
Do đó : \(B⋮̸9\) ( đpcm )
B = ( x - 1) ( x + 8 ) - 15
+) TH1: x = 3k ; k nguyên
=> x - 1 = 3k - 1 không chia hết cho 3
x + 8 = 3k + 8 không chia hết cho 3
=> ( x - 1) ( x + 8 ) không chia hết cho 3
mà 15 chia hết cho 3
=> ( x -1 ) ( x + 8 ) - 15 không chia hết cho 3
=> ( x -1 ) ( x + 8 ) - 15 không chia hết cho 9
+) TH2: x = 3k + 1; k là số nguyên
=> x - 1 = 3k
x + 8 = 3k + 9 = 3 ( k+ 3)
=> ( x - 1) ( x + 8 ) = 9 k ( k+3 ) chia hết cho 9
mà 15 không chia hết cho 9
=> ( x -1 ) ( x + 8 ) - 15 không chia hết cho 9
+) TH3: x = 3k + 2; k là số nguyên.
=> x - 1 = 3k + 1 không chia hết cho 3
x + 8 = 3k + 10 không chia hết cho 3
=> ( x - 1 ) ( x + 8 ) không chia hết cho 3
mà 15 chia hết cho 3
=> ( x -1 ) ( x + 8 ) - 15 không chia hết cho 3
=> (x -1 ) ( x + 8 ) - 15 không chia hết cho 9
Vậy với mọi số nguyên x có B=( x -1 ) ( x + 8 ) - 15 không chia hết cho 9
