Question

- Cho A=1+x+x²+...+xⁿ. CMR A=\(\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\) từ đó suy ra xⁿ⁺¹-1 chia hết cho x-1 với mọi x nguyên dương (lớp 6 cũng c/m được :)

Answer 1

Lời giảiL

$A=1+x+x^2+...+x^n$

$xA=x+x^2+x^3+...+x^n+x^{n+1}$

$\Rightarrow xA-A=(x+x^2+x^3+...+x^{n+1})-(1+x+x^2+...+x^n)$

Hay $A(x-1)=x^{n+1}-1$

$\Rightarrow A=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ với $x$ nguyên dương khác $1$

Vì $A$ nguyên với mọi $x$ nguyên dương, $n$ tự nhiên nên $\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ nguyên

$\Rightarrow x^{n+1}-1\vdots x-1$ (đpcm)