Question

CMR: Bất đẳng thức sau đúng với mọi x:

\(\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+...+\sqrt{x^2}}}}< \left|x\right|+1\)

Answer 1

Với \(x=0\) BĐT hiển nhiên đúng

Với \(x\ne0\) đặt \(\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+...+\sqrt{x^2}}}=y>0\)

Trước hết  ta chứng minh \(y>1\)

Phản chứng, giả sử \(0< y\le1\)

Ta có:

 \(x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+...+\sqrt{x^2}}}=y^2\Rightarrow x^2+y=y^2\) (1)

\(\Rightarrow x^2=y\left(y-1\right)\) 

Mà \(0< y\le1\Rightarrow y\left(y-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le0\) vô lý do \(x\ne0\)

Vậy \(y>1\) (2)

Cũng từ (1) ta có: \(\sqrt{x^2}=\sqrt{y^2-y}\Rightarrow\left|x\right|=\sqrt{y^2-y}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt{y^2-y}+1>y\Leftrightarrow\sqrt{y^2-y}>y-1\)

\(\Leftrightarrow y^2-y>y^2-2y+1\)

\(\Leftrightarrow y>1\) (đúng theo (2))