\(Ta có : 13^n - 1\)
\(= ( 13 - 1 )( 13\)\(n - 1\) \(+ 13\)\(n - 2\) \(+ ... + 13 . 1\)\(n - 2\) \(+1\)\(n - 1\) \()\)
\(= 12 . ( 13\)\(n - 1\) \(+ 13\)\(n - 2\)\(.1 + ... + 13 . 1\)\(n - 2\) \(+ 1\)\(n - 1\)\()\)\(⋮\)\(12\)
\(Vậy : 13^n - 1 \)\(⋮\)\(12\)
Chứng minh rằng: \(\forall n\ge1,n\inℕ^∗.\)Ta có: \(\left(n^3+3n^2+5n\right)\)chia hết cho 3
Tồn tại hay không một hàm số \(f:ℕ^∗\rightarrowℕ^∗\) thỏa mãn
\(f\left(f\left(n-1\right)\right)=f\left(n+1\right)-f\left(n\right),\forall n\ge2\)
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên:
\(x_1+x_2+...+x_m=n\) \(\left(m,n\inℕ^∗\right)\)
(tính số nghiệm theo \(m,n\))
1. Tìm tất cả các đa thức \(P\left(x\right)\) khác đa thức 0 thỏa mãn \(P\left(2014\right)=2046\) và \(P\left(x\right)=\sqrt{P\left(x^2+1\right)-33}+32,\forall x\ge0\)
2. Tìm tất cả các đa thức \(P\left(x\right)\inℤ\left[x\right]\) bậc \(n\) thỏa mãn điều kiện sau: \(\left[P\left(2x\right)\right]^2=16P\left(x^2\right),\forall x\inℝ\)
Với mọi \(m\inℤ^+\), ta kí hiệu \(\sigma\left(n\right)\) là tổng các ước nguyên dương của \(n\) (bao gồm cả chính nó).
a) Chứng minh rằng, nếu \(\sigma\left(n\right)\) là số lẻ thì \(n=2^r.l^2\) với \(r,l\inℕ\), trong đó \(l\) là số lẻ.
b) Số tự nhiên \(n\) được gọi là "hoàn hảo" khi và chỉ khi \(\sigma\left(n\right)=2n\). CMR nếu \(n\) là số hoàn hảo chẵn thì \(n=2^{m-1}\left(2^m-1\right)\) với \(m\inℕ,m\ge2\) sao cho \(2^m-1\) là số nguyên tố.
Xét tính đúng sai và nêu mệnh đề phủ định
a)\(\forall n\varepsilonℕ/n^2+n+1\) là số nguyên tố
b)\(\exists n\varepsilonℕ/n\left(n+1\right)\) là số chính phương
c)\(\forall x\varepsilonℝ/x^2+2x+36>0\)
1. Cho tập \(X=\left\{1,2,...,n\right\}\), ở đó \(n\inℕ^∗\). Chứng minh rằng số các tổ hợp gồm \(r\) phần tử của \(X\) không chứa bất kì 2 phần tử liên tiếp nào là \(C^r_{n-r+1}\) với \(0\le r\le n-r+1\)
2. Một hoán vị \(x_1,x_2,...,x_{2n}\) của tập \(\left\{1,2,...,2n\right\}\) (với \(n\inℕ\)) được gọi là có tính chất \(T\) nếu \(\left|x_i-x_{i+1}\right|=n\) với ít nhất một chỉ số \(i\) thuộc tập \(\left\{1,2,...,2n-1\right\}\). Chứng minh rằng với mọi \(n\) , có nhiều hoán vị có tính chất \(T\) hơn là những hoán vị không có tính chất \(T\).
Giúp mình làm những bài này với. Mình nghĩ mãi vẫn không nghĩ ra lời giải nào thỏa đáng. Mình cảm ơn trước.
Hãy cho biết các mệnh đề sau đúng hay sai? Giải thích và viết mệnh đề phủ định của nó.
\(\forall n\in N\left(2n-1\right)^2-1\)chia hết cho 4
Xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
a) \(\exists x\in Q\), \(4x^2-1=0\)
b) \(\exists n\in N\), \(n^2+1\) chia hết cho 4
c) \(\exists x\in R\), \(\left(x-1\right)^2\ne x-1\)
d) \(\forall n\in N\), \(n^2>n\)
e) \(\exists n\in N\), n(n+!) là một số chính phương
