Question

CMP (n^{2 _} n)(n+1) chia hết cho 24 voi n thuộc Z, n lẻ

Answer 1

(n²-n)(n+1)=n(n-1)(n+1)

Ta có: n,n+1 và n-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>n(n+1)(n-1) chia hết cho 3                          (1)

Ta có: n là số lẻ

=>n+1 và n-1 là số chẵn

Mà n+1 và n-1 là 2 số chẵn liên tiếp

=>1 số chia hết cho 4

=>(n+1)(n-1) chia hết cho 4.2=8

=>n(n+1)(n-1) chia hết cho 8               (2)

Từ (1) và (2) và (3;8)=1

=>n(n+1)(n-1) chia hết cho 3.8=4

Vậy (n²-n)(n+1) chia hết cho 24 với n lẻ (đpcm)

Answer 2

(n² - n)(n+1) = n(n-1)(n+1)

+) với n chia hết cho 3 => n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

+) với n chia 3 dư 1 => n-1 chia hết cho3

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho3

+) với n chia 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho3

chứng tỏ n(n-1)(n+1) chia hết cho3 với mọi n

hay (n² - n)(n+1) chia hết cho3

vì n thuộc Z, n lẻ

đặt n = 2k+1 (k thuôc Z)

=> n-1 =2k và n+1 = 2k+2

=> n(n-1)(n+1) = (2k+1) . 2k . (2k+2)

                      =  (4k² + 2k) (2k+2)

                      = 8k³ +4k² +8k² +4k

                      = 8(k³+k²) + (4k²+4k)

                      = 8(k³ + k²) + 4k(k+1)

vì k,k+1 là 2 số nguyên liên tiếp

=> có ít nhất 1 số chẵn

=> k(k+1) chia hết cho 2

=> 4k(k+1) chia hết cho 8

mà 8(k³ + k²) chia hết cho 8

=> 8(k³+k²) + 4k(k+1) chia hết cho 8

<=> (n² - n) (n+1) chia hết cho 8

mà (n²-n)(n+1) chia hết cho 3 (cmt)

         (3,8)=1

=> (n²-n)(n+1) chia hết cho (8.3)

<=> (n² - n )(n+1) chia hết cho 24