Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3 số không âm :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3\sqrt[3]{1}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\)
Em có cách này nhưng không chắc. Hình như tên là bán Schur-bán SOS thì phải ạ!
\(f\left(a;b;c\right)=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2+\frac{b}{c}-\frac{b-c}{a}-1\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\left(\frac{b}{c}-1\right)-\frac{\left(b-c\right)}{a}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{b-c}{c}-\frac{b-c}{a}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{ca}\)
Do a,b,c có tính chất hoán vị vòng quanh nên ta giả sử c là số nhỏ nhất (c = min{a;b;c} )suy ra f(a;b;c) \(\ge0\)
Từ đó suy ra \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3^{\left(đpcm\right)}\)
