Ta có: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)=2a^3+2b^3+2c^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(a+c\right)\left(a^2+ac+c^2\right)\)(1)
Mặt khác:
\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
\(=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)(2)
Vì \(\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge ab\\b^2+bc+c^2\ge bc\\a^2+ac+c^2\ge ac\end{cases}}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
mk có cách khác
Các bn góp ý xem mk làm đúng chưa nha
Xét Tổng
\(A=2a^3+2b^3+2c^3+ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\)
Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số ko âm ta có
\(a^3+ab^2\ge2a^2b,a^3+c^2a\ge2ca^2\)
\(b^3+bc^2\ge2b^2c,b^3+a^2b\ge2ab^2\)
\(c^3+ca^2\ge2c^2a,c^3+b^2c\ge2bc^2\)
Cộng từng vế các BĐT trên ta có
\(A\ge2\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\right)\)
=> ĐPCM
Đặt \(c=mid\left\{a,b,c\right\}\).
\(VT-VP=\frac{\left(7a+7b-2c\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b+2c\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4}\ge0\)
