Gọi ƯCLN(3n + 7 , 2n + 3) = d
=> \(\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2.\left(3n+7\right)⋮d\\3.\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n+14⋮d\\6n+9⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(6n+14\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow5⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(5\right)\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;5\right\}\)
Nếu d = 5
Mà \(2n+3\)tận cùng là số lẻ (1)
=> 2n + 3 \(⋮\)5 (2)
Từ (1) và (2) => 2n + 3 = ....5 \(⋮\)5 (3)
mà 3n + 7 tận cùng là chẵn hoặc lẻ
=> 3n + 7 = ...5 \(⋮\)5 (4)
Từ (3) và (4)
=> \(\frac{3n+7}{2n+3}\)là phân số chưa tối giản
VD : nếu n = 6
=> \(\frac{3n+7}{2n+3}=\frac{3.6+7}{2.6+3}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\)
Điều này không thể chứng minh
Bài giải
Gọi d = ƯCLN ( 3n + 7 , 2n + 3 )
\(\Rightarrow\text{ }3n+7\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }2\left(3n+7\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }6n+14\text{ }⋮\text{ }d\)
\(2n +3\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }3\left(2n+3\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }6n+9\text{ }⋮\text{ }d\)
\(\Rightarrow\text{ }6n +14-\left(6n+9\right)\text{ }⋮\text{ }d\)
\(6n+14-6n-9\text{ }⋮\text{ }d\)
\(\Rightarrow\text{ }5\text{ }⋮\text{ }d\)
\(\Rightarrow\text{ }d\in\left\{1\text{ ; }5\right\}\)
Ta xét hai trường hợp :
TH1 : n lẻ => 3n + 7 chẵn
TH2 : n chẵn => 2n + 3 lẻ
=> Nếu \(d=5\) thì :
3n + 7 = 0 => n = \(-\frac{7}{3}\notin N\)
2n + 3 = 5 => n = \(1\)
Vậy \(d=1\)
\(\Rightarrow\text{ ĐPCM}\)
Xin lỗi quên mất ! Đến đoạn \(d\in\left\{1\text{ ; }5\right\}\) thì không cần lí luận gì nữa !
Viết tiếp luôn như thế này nha :
\(\Rightarrow\text{ }\) \(\frac{3n+7}{2n+3}\) có thể rút gọn để đem về dưới dạng \(\frac{5}{1}\)
\(\Rightarrow\text{ không thể chứng minh được như thế !}\)
