Question

chung to a+b/c+b+c/a+a+c/b>hoac=6

Answer 1

Nếu hiểu như bạn viết mà ko có dấu ngoặc trên tử (a+b); (b+c); (c+a) thì bdt ban đầu sai (ví dụ a=1;b=c=1/2: VT= 1+1+1/2+1/2+1/2+2 = 11/2 <6 ==> sai) 

Có lẽ ý bạn này là chứng minh: 
(a+b)/c + (b+c)/a + (c+a)/b >=6 với mọi a,b,c >0; 

Nếu vậy, viết lại bdt dưới dạng: 
a/c + b/c + b/a +c/a + c/b+ a/b >=6 (1); Ta sẽ chứng minh (1) đúng 
Thật vậy, áp dụng Cauchy cho bộ 2 số a/c và c/a ta có: 
a/c+ c/a >=2 (*) 
tương tự : 
b/c +c/b >= 2 (**) 
c/a + a/c >=2 (***) 
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên thu được 
/c + b/c + b/a +c/a + c/b+ a/b >=6 - ĐPCM 
dấu "=" <==> a=b=c;

Answer 2

Đặt \(A=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge2+2+2=6\)(đpcm)
 

Answer 3

làm lại nhé:

Đặt \(A=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Ta cần c/m bất đẳng thức sau:

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)

(*)C/m \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

Nhân 2 vế với ac,ta đc

\(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right).ac\ge2ac\Rightarrow\frac{a^2c}{c}+\frac{c^2a}{a}\ge2ac\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow a^2+c^2-2ac\ge0\Rightarrow\left(a-c\right)^2\ge0\) (dấu "=" xảy ra <=> a=c)

CM tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)

Cộng từng vế các BĐT ,ta có đpcm

Answer 4

XÉT A;B;C=1 =>\(\frac{A+B}{C}+\frac{B+C}{A}+\frac{A+C}{B}\)=2+2+2=6

XÉT A;B;C>1=>\(\frac{A+B}{C}+\frac{B+C}{A}+\frac{C+A}{B}=\frac{A\cdot B\cdot\left(A+B\right)}{C\cdot A\cdot B}+\frac{C\cdot B\cdot\left(B+C\right)}{A\cdot B\cdot C}+\frac{C\cdot A\cdot\left(C+A\right)}{A\cdot B\cdot C}=\frac{A^2+B^2+C^2+A^2+B^2+C^2}{A\cdot B\cdot C}\)