Question

Chứng minh với mọi số nguyên dương, ta luôn có:

                                             1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² (1)

Answer 1

Giải: Chú ý vế trái (VT) có n số hạng, n = 1: VT = 1, n = 2: VT = 1 + 3…

Với n = 1: (1) ↔ 1 = 1²: mệnh đề này đúng. Vậy (1) đúng khi n = 1.Giả sử (1) đúng khi n = k ↔ 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k² (2), ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k + 1 ↔ 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1)] = (k + 1)² (3)

Thật vậy: VT(3) = VT(2) + [2(k + 1) - 1]= VP(2) + [2k + 1]

                            = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

                            = VP(3) (đpcm)

Theo phương pháp quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Answer 2

Số số hạng của dãy số trên là:

( 2n - 1 - 1 ) : 2 +1 

= ( 2n - 2 ) : 2 + 1

= 2( n - 1 ) : 2 + 1

= n - 1 + 1

= n

Tổng của dãy số trên là:

( 2n - 1 + 1 ) . n : 2

= 2n.n : 2

= n.n

= n²