Question

Chứng minh với mọi n \(\in N\)thì 1³+2³+3³+..+n³=\(\left[\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Answer 1

Đầu tiên, Tính S₁=1+2+3+...+n=\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

*/ Tính S₂=1²+2²+3²+...+n²

Đặt: S₂'=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)

=>3S₂'=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n(n+1).3=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)−(n−1)]

Nhân ra và rút gọn ta được: 3S₂′=n(n+1)(n+2) => S₂'=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Ta lại có: S₂′=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...+n)=S₂+S₁=S₂+\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=> S₂=S₂'-\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\) -\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

S₃=