A = 10ⁿ + 72n - 1 = 10ⁿ - 1 + 72n
10ⁿ - 1 = 99...9 (có n-1 chữ số 9) = 9x(11..1) (có n chữ số 1)
A = 10ⁿ - 1 + 72n = 9x(11...1) + 72n => A : 9 = 11..1 + 8n = 11...1 -n + 9n
thấy 11...1 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là n => 11..1 - n chia hết cho 9
=> A : 9 = 11..1 - n + 9n chia hết cho 9
=> A chia hết cho 81
A = 10ⁿ + 72n - 1 = 10ⁿ - 1 + 72n
10ⁿ - 1 = 99...9 (có n-1 chữ số 9) = 9x(11..1) (có n chữ số 1)
A = 10ⁿ - 1 + 72n = 9x(11...1) + 72n => A : 9 = 11..1 + 8n = 11...1 -n + 9n
thấy 11...1 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là n => 11..1 - n chia hết cho 9
=> A : 9 = 11..1 - n + 9n chia hết cho 9
=> A chia hết cho 81
Hoặc dùng phương pháp quy nạp dạng cơ bản (dùng được cho toán 6 nâng cao)
Với \(n=0\Rightarrow\).... (bạn làm chỗ này tiếp nhé)
Với n = 1 \(\Rightarrow10^n+72n-1=10^1+72.1-1=81⋮81\)
\(\Rightarrow\)mệnh đề đúng với n = 1 (1)
Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là \(10^k+72k-1⋮81\) (giả thiết qui nạp) (2)
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.Thật vậy:
\(10^{k+1}+72\left(k+1\right)-1\)
\(=10\left(10^k+72k-1\right)-\left(648k-81\right)\)
Mà \(10^k+72k-1⋮81\) nên \(10\left(10^k+72k-1\right)⋮81\) (*)
Mặt khác: \(648k⋮81;81⋮81\Rightarrow648k-81⋮81\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(10\left(10^k+72k-1\right)-\left(648k-81\right)⋮81\)
\(\Rightarrow\)mệnh đề đúng với n = k + 1 (3)
Từ (1) và (2) và (3) suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n\inℕ\) (đpcm)
