Question

Chứng minh rằng với \(n\in N\) thì A là số chính phương biết:

\(A=\left(10^n+10^{n-1}....+10+1\right)\left(10^{n+1}+5\right)+1\)

Answer 1

Lời giải:
Xét:

$M=1+10+....+10^n$

$10M=10+10^2+....+10^{n+1}$
$10M-M=10^{n+1}-1$

$M=\frac{10^{n+1}-1}{9}$

$A=M.(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}+1$

$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}-5+9}{9}$

$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}$

$=\frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}$

$=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2$
Ta thấy: $10^{n+1}+2\equiv 1^{n+1}+2=3\equiv 0\pmod 3$

Do đó: $\frac{10^{n+1}+2}{3}\in\mathbb{N}$

Suy ra $A$ là scp.