Question

chứng minh rằng với n thuộc Z+ thì ta đều có n^3 +5n chia hết cho 6 .Giải giúp mình với ạ.

 

Answer 1

Ta có: ${}^{}+5n={}^{}-n+6n=n\left({}^{}-1\right)+6n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n$Vì n là số nguyên dương

=> Tích của ba số nguyên dương liên tiếp: n-1, n, n+1 chia hết cho 2 (vì trong 3 số trên chắc chắn có 1 hoặc 2 số lẻ) và chia hết cho 3 (vì trong 3 số trên chắc chắn có 1 số chia hết cho 3)

Mà 6n chia hết cho 6

=> n(n-1)(n+1) +6n chia hết cho 6

=> ${}^{}+5n$ chia hết cho 6 (đpcm)

Answer 2

Ta có n³ + 5n = n³ - n + 6n 

= n(n² - 1) + 6n 

= n(n² - n + n - 1) + 6n 

= n[n(n - 1) + (n - 1)] + 6n 

= n(n - 1)(n + 1) + 6n = (n - 1)n(n + 1) + 6n 

Nhận thấy (n - 1)n(n + 1) \(⋮\)6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) 

Lại có 6n \(⋮\)6 

=> (n - 1)n(n + 1) + 6n \(⋮\)6 

=> n³ + 5n \(⋮\)6 \(\forall n\inℤ^+\)