Question

chứng minh rằng với mọi x là số nguyên dương thì phân số sau tối giản 6+8x+15x^2/13+21x+30x^2

Answer 1

Đặt \(d=ƯCLN\left(15x^2+8x+6;30x^2+21x+30\right)\)

=>\(\begin{cases}15x^2+8x+6\vdots d\\ 30x^2+21x+13\vdots d\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}30x^2+16x+12\vdots d\\ 30x^2+21x+13\vdots d\end{cases}\)

=>\(30x^2+21x+13-30x^2-16x-12\vdots d\)

=>5x+1⋮d

Ta có: \(15x^2+8x+6\)

\(=15x^2+3x+5x+6\)

=3x(5x+1)+5x+6

mà \(15x^2+8x+6\vdots d;3x\left(5x+1\right)\vdots d\)

nên 5x+6⋮d

=>5x+6-5x-1⋮d

=>5⋮d

=>d∈{1;5}

Khi x=1 thì ta sẽ có: \(15x^2+8x+6=15\cdot1^2+8\cdot1+6=15+8+6=15+14=29\) không chia hết cho 5; \(13+21x+30x^2=13+21+30=51+13=64\) không chia hết cho 5

=>ƯCLN của tử và mẫu không thể là 5

=>d=1

=>Đây là phân số tối giản