Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, 2n + 7 và n + 3 là sai số nguyên tố cùng nhau.

Gợi ý: Gọi d là một ước chung của 2n + 7 và n + 3.

Chứng minh d = 1

 

Answer 1

Gọi d là ƯC( 2n+7 ; n+3 )

=> \(\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\2\left(n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\2n+6⋮d\end{cases}}\)

=> 2n + 7 - ( 2n + 6 ) chia hết cho d

=> 2n + 7 - 2n - 6 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN( 2n+7 ; n+3 ) = 1

=> 2n+7 và n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

Answer 2

Gọi ƯCLN(2n + 7 ; n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\2\left(n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\2n+6⋮d\end{cases}}\Rightarrow2n+7-\left(2n+6\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> d = 1 (Vì n \(\inℕ\))

=> 2n + 7 ; n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau