Question

Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên n thì \(n^5-n\) luôn chia hết cho 30

Answer 1

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n^2-4+5\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

+) n(n-1)(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

=> n(n-1)(n+1) \(⋮\)6

=> \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮6\\5n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow n^5-n⋮6\) (1)

+) n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5

5n(n+1)(n-1) \(⋮5\)

=> n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)+5n(n+1)(n-1) \(⋮5\) => n^5-n\(⋮5\) (2)

từ 1 và 2 => n^5-n \(⋮6.5=30\)

Answer 2

n⁵ - n = n(n² -1)² = n(n² - 1)(n² + 1)

= n(n - 1)(n + 1)(n² - 4 + 5)

= n(n - 1)(n + 1)(n² - 4) + n(n - 1)(n + 1).5

= n(n - 1)(n + 1)(n + 2)(n - 2) + 5n(n - 1(n+ 1)

Vì n(n + 1)(n - 1)(n - 2)(n + 2) chia hết cho 5 và 6 nên chia hết cho 30

5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5 và 6 nên nó cũng chia hết cho 30

Vậy n⁵ - n luôn chia hết cho 30