Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b, c ta đều có (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ chia hết cho 6

Answer 1

\(A=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)

\(=a^3-3ab\left(a+b\right)+b^3+b^3-3bc\left(b+c\right)+c^3+c^3-3ca\left(c+a\right)+a^3\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(⋮3\)

Lấy  \(a,b,c\)lần lượt chia cho \(2\)ta được tối đa 2 số dư là:  \(0;1\)Do đó tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2

\(\Rightarrow\)hiệu của chúng chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A⋮2\)

mà  \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow\)\(A⋮6\)