Question

Chứng minh rằng với mọi n thuộc N thì n⁵ và n lun có chữ số tận cùng giống nhau

Answer 1

Coi chữ số tận cùng của n là h

Với n lẻ :

\(n^5=n^4.n=\left(...1\right).n=\left(..1\right)\left(...a\right)=\left(...a\right)\)

Tương tự với n chẵn :

\(n^5=n^4.n=\left(...6\right).n=\left(..6\right)\left(...a\right)=\left(...a\right)\)

Vậy ...

Answer 2

Không hiểu nổi @trần thùy dung CTV viết cái gì nữa:

\(A=n^5-n\)

 A chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (*)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)=> A chia hết cho 2 (**)

(*)&(**)=> A chia hết cho 10=> A tận cùng là 0 vậy n^5 và n có số tận cùng = nhau=> dpcm

p/s: (*) nếu cần có thể c/m nhưng nó thuộc t/c do vậy ko cần c/m nữa

Answer 3

Ta có:

n⁵ - n = n(n⁴ - 1)

= n(n² - 1)(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1)(n² - 4) + 5n(n² - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

Ta thấy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ đồng thời chia hết cho 2 và cho 5. Hay là (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) sẽ chia hết cho 10 (1)

Ta lại co (n - 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n - 1)n(n + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) => n⁵ - n chia hết cho 10 hay là co tận cùng là 0.

Vậy n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.