Question

Chứng minh rằng với a, b là các số dương thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Answer 1

Ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

=>Chia 2 vế cho a+b

Ta có:\(a^2+ab+b^2\ge ab\)

=>Trừ 2 vế cho ab \(a^2+b^2\ge0\)

Vì a² >=0 Với mọi a

b² >= 0 với mọi b

=> a²+b²>= 0 với mọi a,b

Dấu bằng xảy ra khi:

a²=0 và b²=0

=> a=b=0

Vậy \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) khi a=b=0

Cách 2 a³+b³>=ab(a+b)

=>a³-a²b +b³-ab²>=)

=> a²(a-b)-b²(a-b)>=0

=>(a-b)²(a+b)>=0 vì a,b dương => a+b>=0

=>Th1:(a-b)² =0                              Th2:a+b=0

=> a-b=0                                                a=b=0

=>a=b

Vậy a³+b³>= ab(a+b)