Question

chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên típ bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11

help me

Answer 1

Lấy 20 số đầu tiên của dãy, ta luôn được 2 số mà có chữ số hàng đơn vị là 0 và trong 2 số này có ít nhất 1 số có chữ số hàng chục khác 9.

Giả sử số đó là nn và tổng các chữ số của số đó là ss. Khi đó n,n+1,n+2...n+9,n+19n,n+1,n+2...n+9,n+19 là 11 số nằm trong 39 số đã cho mà tổng các chữ số của này lần lượt là s,s+1,.....,s+9,s+10s,s+1,.....,s+9,s+10. Đó là 11 số tự nhiên liên tiếp nên theo nguyên lí dirchlet thì có 1 số chia hết cho 11. Nếu số đó là s+is+i với 0≤i≤90≤i≤9 thì số đó thỏa mãn.

Nếu số đó là s+10s+10 thì số n+11n+11 thỏa mãn. Đieuf phải chứng minh.

Answer 2

giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp đó là a₁ < a₂ < .............. < a₃₉

Trong 20 số hạng đầu tiên của dãy này sẽ có hai số tận cùng là 0 và có 1 số ( trong 2 số này ) có chữ số đứng trước chữ số tận cùng khác 9 . Gọi số này là N . 

xét các số N + 1 ; N + 2 ,............... , N + 19 thuộc 39 số đã cho . Khi đó :

    S ( N + i ) = S(N ) + 1 với i = 1,2,.........,9 và S( N+ 19 ) = S ( N ) + 10

( ký hiệu S ( a ) là tổng các chữ số của a ) .

trong 11 số tự nhiên liên tiếp S(N) , S(N ) + 1,............S(N ) + 9, S(N ) + 10 Luôn có 1 số chia hết cho 11 , chẳng hạn : 

S( N + m ) \(⋮\)11 , với m thuộc { 1 ; 2 ; ......; 9 ; 19 }

vậy N + m thỏa mãn