Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA
*) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA
+) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK
Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC
+) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC
=> 2.AM < AB + AC (1)
Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2)
2.CE < AC + BC (3)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA)
=> AM + BD + CE < AB + BC + CA
*) Chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE
+) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB
mà AG = \(\frac{2}{3}\).AM ; BG = \(\frac{2}{3}\).BD (do G là trong tâm tam giác ABC)
=> \(\frac{2}{3}\).(AM + BD) > AB
+) Tương tự, ta có: \(\frac{2}{3}\)(AM + CE) > AC; \(\frac{2}{3}\)(BD + CE) > BC
=> \(\frac{2}{3}\).2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
<=> \(\frac{4}{3}\) (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
=> AM + BD + CE > \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA)
=> ĐPCM
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA +) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC +) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC => 2.AM < AB + AC (1) Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2) 2.CE < AC + BC (3) Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA) => AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE +) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB mà AG = 3 2 .AM ; BG = 3 2 .BD (do G là trong tâm tam giác ABC) => 3 2 .(AM + BD) > AB +) Tương tự, ta có: 3 2 (AM + CE) > AC; 3 2 (BD + CE) > BC => 3 2 .2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA <=> 3 4 (AM + BD + CE) > AB + BC + CA => AM + BD + CE > 4 3 (AB + BC + CA) => ĐPC
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA +) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC +) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC => 2.AM < AB + AC (1) Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2) 2.CE < AC + BC (3) Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA) => AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE +) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB mà AG = 3 2 .AM ; BG = 3 2 .BD (do G là trong tâm tam giác ABC) => 3 2 .(AM + BD) > AB +) Tương tự, ta có: 3 2 (AM + CE) > AC; 3 2 (BD + CE) > BC => 3 2 .2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA <=> 3 4 (AM + BD + CE) > AB + BC + CA => AM + BD + CE > 4 3 (AB + BC + CA) => ĐPC
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA +) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC +) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC => 2.AM < AB + AC (1) Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2) 2.CE < AC + BC (3) Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA) => AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE +) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB mà AG = 3 2 .AM ; BG = 3 2 .BD (do G là trong tâm tam giác ABC) => 3 2 .(AM + BD) > AB +) Tương tự, ta có: 3 2 (AM + CE) > AC; 3 2 (BD + CE) > BC => 3 2 .2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA <=> 3 4 (AM + BD + CE) > AB + BC + CA => AM + BD + CE > 4 3 (AB + BC + CA) => ĐPC