Chứng minh như sau :
Gọi \(S_{2n+1}\)là tổng của n số lẻ đầu tiên.
Trước tiên ta sẽ đưa tổng sau về dạng tổng quát : \(T_n=1+2+3+...+n\)(Tổng của n số tự nhiên đầu tiên)
Làm như sau : \(T=1+2+3+...+n\)(1)
Viết lại : \(T=n+\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+...+3+2+1\)(2)
Cộng (1) và (2) theo vế được : \(2T=\left(n+1\right)+\left(n-1+2\right)+\left(n-2+3\right)+...+\left(3+n-2\right)+\left(2+n-1\right)+\left(1+n\right)\)
\(=\left(n+1\right)+\left(n+1\right)+\left(n+1\right)+...+\left(n+1\right)+\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\)( Có tất cả n số hạng (n+1))
\(=n\left(n+1\right)\)\(\Rightarrow T=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Ta có : \(S_{2n+1}=1+3+5+...+\left(2n+1\right)=\left(2.0+1\right)+\left(2.1+1\right)+\left(2.2+1\right)+...+\left(2.n+1\right)\)
\(=2.\left(1+2+3+...+n\right)+n+1\)
\(=2.\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)
Vậy \(S_{2n+1}\)là só chính phương.
