gọi p/s đó là a/b (a;b \(\in\) Z,b \(\ne\) 0)
Ta cần c/m \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Nhân cả 2 vế cho ab,ta đc:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (dấu "=" xảy ra <=>a=b0
BĐT cuối luôn đúng,ta có đpcm
Gọi phân số dương là \(\frac{a}{b}\).Không mất tích tổng quát giả sử a>0,b>0 và a\(\ge\) b.Ta có thể viết a=b+m(m\(\ge\) 0).Ta có;
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{m+b}\)
=\(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{m+b}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)
=\(1+\frac{m+b}{b+m}=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Gọi p/s đó là : a/b ( vs mọi a:b \(\in\) N* )
Theo bài ra ta có :
a/b + b/a = \(\frac{2a+2b}{ab}\) = \(\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\)
Vậy tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2
Gọi p/s đó là : a/b ( vs mọi a:b $\in$∈ N* )
Theo bài ra ta có :
a/b + b/a = $\frac{2a+2b}{ab}$2a+2bab = $\frac{2\left(a+b\right)}{ab}$2(a+b)ab
Vậy tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) ( với x < y )
Vì : \(\frac{x}{y}<1;\)\(\frac{y}{x}>1\)
Mà 1 < 2
2 > 1
=> tổng của chúng nhỏ hơn 2
