Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp là: \(a-1;a;a+1;a+2\)\(\left(a\inℕ^∗\right)\)
Tích của bốn số đó cộng thêm 1 là: \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\)\(=\left(a-1\right)\left(a+2\right)a\left(a+1\right)+1\)\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a\right)+1\)
Đặt \(a^2+a=x\)\(\Rightarrow\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a\right)+1=x\left(x-2\right)+1=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)là số chính phương
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là : \(a,a+1,a+2,a+3\left(a\inℕ^∗\right)\)
Ta có :
\(a.\left(a+1\right).\left(a+2\right).\left(a+3\right)+1\)
\(=\left[a.\left(a+3\right)\right].\left[\left(a+1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)^2+2.\left(a^2+3a\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a+1\right)^2\) là một số chính phương
\(\Rightarrowđpcm\)
Gọi 4 số liên tiếp là a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3
\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(=a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
Đặt \(t=a^2+3a\)
\(t\left(t+2\right)+1\)
\(=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)
\(=\left(a^2+3a+1\right)^2\)
Vậy tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là a, a+1, a+2, a+3 ( a thuộc N )
Tích của 4 số đó cộng 1 là
a( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 ) + 1
= [ a( a + 3 ) ][ ( a + 1 )( a + 2 ) ] + 1
= ( a2 + 3a )( a2 + 3a + 2 ) + 1 (1)
Đặt t = a2 + 3a
(1) <=> t( t + 2 ) + 1
= t2 + 2t + 1
= ( t + 1 )2
= ( a2 + 3a + 1 )2
Vì a thuộc N => a2 + 3a + 1 thuộc N
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp + 1 luôn là một số chính phương ( đpcm )
