Question

Chứng minh rằng số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81

Answer 1

 Số đã cho được viết là N = 111...11 (81 chữ số 1)

\(N=10^{80}+10^{79}+...+10^1+10^0\)

\(\Rightarrow10N=10^{81}+10^{80}+...+10^2+10^1\)

\(\Rightarrow9N=10^{81}-1\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{81}-1}{9}\)

 Ta chứng minh \(\dfrac{10^{81}-1}{9}⋮81=3^4\) hay \(10^{81}-1⋮3^6\)

 Kí hiệu \(v_p\left(n\right)\) là số mũ đúng của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n.

Sử dụng định lý LTE, ta có:

 \(v_3\left(10^{81}-1\right)=v_3\left(10-1\right)+v_3\left(81\right)\) \(=2+4=6\)

 Do đó \(10^{81}-1⋮3^6\), ta có đpcm.

 (Bạn có thể tìm hiểu thêm về định lý LTE trên mạng nhưng bạn sẽ không được dùng nó vào chương trình lớp 6 đâu. Bạn có thể cm điều này bằng cách phân tích \(10^{81}-1\) thành tích của các số nhưng sẽ hơi lâu.)

Answer 2

Lời giải:

Ta có:

\(\underbrace{111....1}_{81}=\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{72}+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{63}+\underbrace{111...1}_{9}\times 10^{54}+....+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^0\)

\(=\underbrace{111....1}_{9}(10^{72}+10^{63}+...+10^0)\)

\(=\underbrace{111...1}_{9}\times 1\underbrace{0...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\)

Ta thấy thừa số thứ nhất chia hết cho 9 (do tổng các chữ số bằng 9). Thừa số thứ 2 cũng chia hết cho 9 (do tổng các chữ số chia hết cho 9)

Do đó tích 2 thừa số trên chia hết cho $9.9=81$

Ta có điều phải chứng minh.

Answer 3

Mình mún có GP dù chỉ là 1 GP nhỏ nhỏ thôi cũng được

Answer 4

Số đã cho được viết là N = 111...11 (81 chữ số 1)

�=1080+1079+...+101+100N=1080+1079+...+101+100

⇒10�=1081+1080+...+102+101⇒10N=1081+1080+...+102+101

⇒9�=1081−1⇒9N=1081−1

⇒�=1081−19⇒N=91081−1​

 Ta chứng minh 1081−19⋮81=3491081−1​⋮81=34 hay 1081−1⋮361081−1⋮36

 Kí hiệu ��(�)vp​(n) là số mũ đúng của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n.

Sử dụng định lý LTE, ta có:

 �3(1081−1)=�3(10−1)+�3(81)v3​(1081−1)=v3​(10−1)+v3​(81) $=2+4=6$

 Do đó 1081−1⋮361081−1⋮36, ta có đpcm.

Answer 5

Số đã cho được viết là N = 111...11 (81 chữ số 1)

�=1080+1079+...+101+100N=1080+1079+...+101+100

⇒10�=1081+1080+...+102+101⇒10N=1081+1080+...+102+101

⇒9�=1081−1⇒9N=1081−1

⇒�=1081−19⇒N=91081−1​

 Ta chứng minh 1081−19⋮81=3491081−1​⋮81=34 hay 1081−1⋮361081−1⋮36

 Kí hiệu ��(�)vp​(n) là số mũ đúng của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n.

Sử dụng định lý LTE, ta có:

 �3(1081−1)=�3(10−1)+�3(81)v3​(1081−1)=v3​(10−1)+v3​(81) $=2+4=6$

 Do đó 1081−1⋮361081−1⋮36, ta có đpcm.