Ta có:
\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(=\left[a\left(a+3\right)\right]\left[\left(a+1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)(1)
Đặt \(t=a^2+3a\Rightarrow t+2=a^2+3a+2\)
\(\Rightarrow\left(1\right)=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)(*)
Vì \(t=a^2+3a\) nên \(\left(\text{*}\right)=\left(a^2+3a+1\right)^2\)
Vì \(a\) là một số tự nhiên nên \(\left(a^2+3a+1\right)^2\) là số chính phương.
Vậy.............
Chúc bạn học tốt!!!
sửa đề: \(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\\ A=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\\ A=\left(a^2+3a+1-1\right)\left(a^2+3a+1+1\right)+1\\ A=\left(a^3+3a+1\right)^2-1^2+1\\ A=\left(a^2+3a+1\right)^2\)
vậy A là số chính phương
