Question

Chứng minh rằng p và p²+8 là các số nguyên tố thì p²+2 cũng là số nguyên tố

Answer 1

Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.

Xét p = 3k + 1=> p² + 8 = ( 3k + 1 )² + 8 = 9k² + 6k + 9 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k + 2 => p² + 8 = ( 3k + 2 )² + 8 = 9k² + 12k + 12 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k => k = 1 do p là số nguyên tố => p² + 8 = 9 + 8 = 17 ( thỏa mãn )

Ta có : p² + 2 = 11. Mà 11 là số nguyên tố => Điều cần chứng minh

Answer 2

Bài này cũng giống như bài tìm p nguyên tố sao cho p²+8 là số nguyên tố thôi

Cách làm cũng giống luôn

Xét p=2

... loại

Xétp=3

... thỏa mãn

Xét p> 3 thì dùng đồng dư

Ta có: \(p\equiv\pm1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8\equiv9\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8⋮3\)

Mà \(p^2+8>3\)

Nên là hợp số ( loại)

Answer 3

+, p=2 thì ko t/m

+, p = 3 => p^2+8 = 17 nguyên tố

=> p^2+2 = 3^2+2 = 11 nguyên tố

+, p > 3 => p ko chia hết cho 3

=> p^2 chia 3 dư 1 => p^2+8 chia hết cho 3

Mà p^2+8 > 3 => p^2+8 là hợp số

Vậy ............

Tk mk nha