với n là số chẵn ta có : n = 2k
=> n.(n+1)(n+2)(n+3) = 2k( 2k+ 1)(2k+2)(2k+3) = 2.2.k.(2k+1).(k+1).(k+3)
vì k và k+ 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k.(k+1) \(⋮\) 2
=> 2.2.k.(k+1).(2k+1).(k+3) ⋮ 8 ⇒ n.(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 8 (1)
mặt khác n; n + 1; n + 2 là 3 số tự nhiên liến tiếp nên
\(\Rightarrow\) n(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 3
Vì (3; 8) = 1 (2)
Nên kết hợp (1) và (2) ta có n.(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 24 (*)
Với n là số lẻ ta có n = 2k + 1
n(n+1)(n+2)(n+3)
= (2k+1)(2k+ 2)(2k+3)(2k+4)
= 2.2.(2k+1)(k+1)(2k+3)(k+2) vì k + 1 và k + 2 là hai số tự nhiên liên tiếp nên (k+1)(k+2) ⋮ 2 ⇒ 2.2.(2k+1)(k+1)(2k+3)(k+2) \(⋮\) 8
\(\Rightarrow\) n(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 8 (a)
vì n; n + 1; n+ 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên: n(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 3 (b)
Mà (3; 8) = 1 nên kết hợp (a) và (b) ta có : n(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 24 (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có n.(n+1)(n+2)(n+3) ⋮ 24 ∀ n ∈ N
