Với mọi x thì x^6 chưa chắc đã lớn hơn x^5 ví dụ như x = 0,1.
Và lớp 7 thì chưa học hằng đẳng thức chúng ta hạn chế áp dụng.
Theo cô để cho nhanh thì em nên tách nhỏ thành 3 trường hợp: \(x\ge0;0< x< 1;x\ge1\)
Còn có cách khác nữa.
Xét \(x\le0\)
Ta có : \(x^8\ge0;-x^5\ge0;x^2\ge0;-x\ge0\)nên \(f\left(x\right)=x^8-x^5+x^2-x+1\ge1>0\)
Xét \(0< x< 1\)
Ta có : \(x^8>0;x^2>0;1-x^3>0;1-x>0\)nên \(f\left(x\right)=x^8+x^2\left(1-x^3\right)+\left(1-x\right)>0\)
Xét \(x\ge1\)
Ta có : \(x^5>0;x^3-1\ge0;x>0;x-1\ge0\)nên \(f\left(x\right)=x^5\left(x^3-1\right)+x\left(x-1\right)+1>0\)
Vậy với mọi giá trị của x,ta luôn có \(f\left(x\right)>0\)
Do đó,đa thức \(f\left(x\right)=x^8-x^5+x^2-x+1\ne0\forall x\)
\(f\left(x\right)=x^8-x^5+x^2-x+1\)
\(=x^5\left(x^3-1\right)+\left(x^2-x+1\right)\)
\(=x^5\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+x^2-x+1\)
\(=\left(x^6+x^5+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)
Đến đây ta thấy \(x^6\ge x^5\forall x\Rightarrow x^6+x^5+1\ge1\)
\(x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^8-x^5+x^2-x+1=\left(x^6+x^5+1\right)\left(x^2-x+1\right)\ne0\forall x\)
...
