Question

Chứng minh rằng các đa thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến

a) x² + x + 1

b) 4x² - 2x + 1

c) x⁴ - 3x² + 9 

d) x² + y² - 2x - 4y + 6

e) x² + y² - 2x - 2y + 2xy + 2

Answer 1

a) x² + x + 1 = ( x² + x + 1/4 ) + 3/4 = ( x + 1/2 )² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )

b) 4x² - 2x + 1 = 4( x² - 1/2x + 1/16 ) + 3/4 = 4( x - 1/4 )² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )

c) x⁴ - 3x² + 9 (*)

Đặt t = x²

(*) <=> t² - 3t + 9 = ( t² - 3t + 9/4 ) + 27/4 = ( t - 3/2 )² + 27/4 = ( x² - 3/2 )² + 27/4 ≥ 27/4 > 0 ∀ x ( đpcm )

d) x² + y² - 2x - 4y + 6 = ( x² - 2x + 1 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 1 = ( x - 1 )² + ( y - 2 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x, y ( đpcm )

e) x² + y² - 2x - 2y + 2xy + 2 = ( x² + 2xy + y² - 2x - 2y + 1 ) + 1

                                              = [ ( x² + 2xy + y² ) - ( 2x + 2y ) + 1 ] + 1 

                                              = [ ( x + y )² - 2( x + y ) + 1² ] + 1

                                              = ( x + y - 1 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x, y ( đpcm )

Answer 2

a) \(x^2+x+1=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

b) \(4x^2-2x+1=4\left(x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\right)+\frac{3}{4}=4\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

c) \(x^4-3x^2+9=\left(x^4-3x^2+\frac{9}{4}\right)+\frac{27}{4}=\left(x^2-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}>0\left(\forall x\right)\)

d) \(x^2+y^2-2x-4y+6\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1>0\left(\forall x,y\right)\)

e) \(x^2+y^2-2x-2y+2xy+2\)

\(=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+1\)

\(=\left(x+y-1\right)^2+1>0\left(\forall x,y\right)\)