Question

chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến :

a) -5-(x-1)(x+2)

Answer 1

ta có : \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)=-5-\left(x^2+2x-x-2\right)\)

\(=-5-x^2-2x+x+2=-x^2-x-3=-\left(x^2+x+3\right)\)

\(=-\left(x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\right)=-\left(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\right)\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\)

ta có : \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\) \(\Leftrightarrow-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\) với mọi \(x\)

\(\Rightarrow-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\le\dfrac{-11}{4}< 0\) với mọi \(x\)

vậy biểu thức \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\) luôn luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến (đpcm)