Question

Chứng minh rằng: 1.1! +2.2! +3.3! +...+n.n! =(n+1)!, với n lớn hơn hoặc bằng 1

Answer 1

Với n=1 (tính tay ra) đúng 
Với n=2 (tính tay ra) đúng 
Với n=3 (tính tay ra) đúng. 
Giả sử phương trình trên đúng với n=k, nếu nó cũng đúng với n=k+1 thì phương trình đúng. 
1.1! + 2.2!+...+k*k!=(k+1)!-1 (theo giả thiết trên). 
Phải chứng minh:1.1! + 2.2!+...+k*k! + (k+1)*(k+1)!=(k+1+1)!-1 
<=> (k+1)!-1+(k+1)*(k+1)!=(k+2)!-1 
<=> (k+1)! + (k+1)*(k+1)!=(k+2)! 
<=>(k+1)!*(1+k+1)=(k+2)! 
<=>(k+2)!=(k+2)! Điều này luôn đúng. 
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.