Question

Chứng minh dãy số (u_n) với \(u_n=\sqrt{n^2+2}-n\) là dãy số giảm và bị chặn

 

Answer 1

+) \(U_n=\sqrt{n^2+2}-n=\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}\)

\(U_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}-\left(n+1\right)=\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)

Vì \(\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}>\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)với mọi số tự nhiên n 

=> \(U_n>U_{n+1}\)với mọi số tự nhiên n

=> \(U_n\) là dãy giảm.

+) Ta có: \(\sqrt{n^2+2}-n\le\sqrt{\left(n+\sqrt{2}\right)^2}-n=\sqrt{2}\)với mọi số tự nhiên n 

=> \(U_n\) là dãy bị chặn