Hanh Nguyen

Chứng minh các bất đẳng thức: x^2 + y^2 +1 lớn hơn hoặc bằng xy + x + y

Chibi Moon
4 tháng 4 2015 lúc 21:19

Áp dụng BĐT Cô-si a2+b2>=2ab, ta đc:

x^2+y^2>=2.x.y=2xy

x^2+1>=2.x.1=2x

y^2+1>=2.y.1=2y

Cộng vế theo vế ba BĐT trên, ta đc: x^2+y^2+x^2+1+y^2+1>=2xy+2x+2y

(=) 2(x^2+y^2+1)>=2(xy+x+y)

(=)x^2+y^2+1>=xy+x+y.

Bình luận (0)
Nguyễn Ngọc Bảo Trân
4 tháng 4 2015 lúc 21:31

Ta có : x^2 + y^2 +1 >= xy +x +y

   <=> 2(x^2+y^2 +1) >=2 ( xy+x+y)     (*nhân 2 vào cả 2 vế)

    <=> 2x^2+2y^2+2 >= 2xy+2x+2y

   <=> 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y >= 0

    <=> x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1 >=0

<=> (x-y)^2 + ( x-1)^2 +(y-1)^2 >= 0

+ Với x,y thì  (x-y)^2 >= 0;(x-1)^2>=0;(y-1)^2>=0 nên ...(ghi lại dòng trên) 

Vậy : x^2 +y^2+1 >= xy+x+y

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hoàng Phương Nhàn
Xem chi tiết
Hanh Nguyen
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
nguyễn thành long
Xem chi tiết
Đỗ Thị Hải Yến
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Nguyễn Hằng Nga
Xem chi tiết
Lê Hồng Ngọc
Xem chi tiết
no name
Xem chi tiết