Question

Chứng Minh Bất Đẳng Thức sau : 

\(\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{a+c}+\frac{c^n}{a+b}\ge\frac{1}{3}\cdot\left(a^n+b^n+c^n\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right).\)

Answer 1

Giúp mình 

Answer 2

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó, ta dễ dàng có được \(a^n\ge b^n\ge c^n\)và \(\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{a+b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: \(\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b}\ge\frac{1}{3}\left(a^n+b^n+c^n\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

P/s: Đây là một bước nhỏ trong một cách chứng minh dạng tổng quát của bđt Nesbit

Answer 3

ủa trebyshev có dạng như vậy hả bạn 

Answer 4

 \(\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{a+c}+\frac{c^n}{a+b}\ge\frac{3}{2}.\frac{a^n+b^n+c^n}{a+b+c}.\)

Answer 5

Bạn cho mình xin cách chứng minh bất đẳng thức chebyshev đc k 

Answer 6

Mình chỉ biết cái dạng này của chebyshev @@ \(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}\ge\frac{a_1.b_1+a_2.b_2+...+a_n.b_n}{n}\)

Answer 7

Bạn viết đúng dạng của Chebyshev rồi đó, chỉ cần giản ước n ở mẫu là được

Answer 8

Bạn tham khảo cách chứng minh ở đây  https://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_c%E1%BB%99ng_Chebyshev

Answer 9

https://vi.wikipedia.org/wiki/Bất_đẳng_thức_cộng_Chebyshev(Link nãy hơi dài)