Đề bài phải có điều kiện a là số nguyên hay số tự nhiên...gì đó chứ bạn!?
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Dễ thấy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
=>\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) chia hết cho 2 và 3
<=> \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 2 và 3 (1)
Xét các trường hợp:
+) a=5k => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=\left(5k-1\right)5k\left(5k+1\right)\left[\left(5k\right)^2+1\right]⋮5\) (\(k\in Z\))
+) a=5k+1 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+1-1)(5k+1)(5k+1+1)[(5k+1)2+1]=5k(5k+1)(5k+2)[(5k+1)2+1]\(⋮5\)
+) a=5k+2 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+2-1)(5k+2)(5k+2+1)[(5k+2)2+1]=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k2+20k+5)\(⋮5\)
+) a=5k+3 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+3-1)(5k+3)(5k+3+1)[(5k+3)2+1]=(5k+2)(5k+3)(5k+4)(25k2+30k+10)\(⋮5\)
+) a=5k+4 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+4-1)(5k+4)(5k+4+1)[(5k+4)2+1]=(5k+3)(5k+4)(5k+5)[(5k+4)2+1]\(⋮5\)
=>\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
khổ quá ko có bạn ạ, nếu có mình đã ko hỏi
