Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Câu 2.
a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Câu 4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|
Câu 2a
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2-\left(a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)( đpcm )
Câu 2b
\(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow2abcd\le b^2c^2+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le b^2c^2-2abcd+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(bc-ad\right)^2\)( đpcm )
Câu 4a
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đpcm )
Câu 4c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow3a+5b\ge2\sqrt{3a.5b}=2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow12\ge2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6\ge\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6^2\ge15ab\)
\(\Rightarrow36\ge15ab\)
\(\Rightarrow ab\le\frac{12}{5}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\)
Vậy GTLN của \(P=\frac{12}{5}\)
1, Giả sử \(\sqrt{7}\)là số hữu tỷ, khi đó ta có: \(\sqrt{7}=\frac{m}{n},\left(m,n\right)=1\)
Vậy: \(m^2=7n^2\Rightarrow m^2⋮7\Rightarrow m⋮7\Rightarrow m=7k,k\in Z\)
\(\Rightarrow m^2=49k^2\Rightarrow n^2⋮7\Rightarrow n⋮7\)
Vậy (m,n)=7 vô lý do (m,n)=1
Vậy \(\sqrt{7}\)là số vô tỷ
3, Có: \(x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+2xy+y^2=\left(x+y\right)^2=4\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)
VaayjjMin S=2 <=> x=y=1
4c, Áp dụng BĐT Cauchy: \(3a+5b\ge2\sqrt{3.5ab}\Leftrightarrow ab\le\frac{\left(3a+5b\right)^2}{4.3.5}=\frac{12^2}{4.3.5}=\frac{12}{5}\)
Dấu =xảy ra: \(\hept{\begin{cases}3a=5b\\3a+5b=12\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=\frac{6}{5}\end{cases}}\)
5, \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
Lại có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a+b^2\right)\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(P\ge1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
Vậy Min P=1/4 <=> a=b=1/2
6, Ta có: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}=3a\)
Tương tự cho b, cộng vế theo vế ta được: \(a^3+b^3+4\ge3\left(a+b\right)\Leftrightarrow a+b\le\frac{a^3+b^3+4}{3}=\frac{2+4}{3}=2\)
Vậy Max N=2 ,+. a=b=1
7, Ta sẽ CM: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy, Xét: \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0,\forall a,b>0\)Vậy Ta có: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\left(ĐPCM\right)\)
8, Có: I a+b I> Ia-b I>0 <=> \(\left(a+b\right)^2>\left(a-b\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2>0\Leftrightarrow4ab>0\Leftrightarrow ab>0\)
Vậy Với ab>0 thì ta có BĐT trên
