Question

chứng minh: \(2n^3+22n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Answer 1

\(2n^3+22n\\ =2n\left(n^2+11\right)\\ =2n\left(n^2-1+12\right)\\ =2n\left(n^2-1\right)+12.2n=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+24n\)

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3. Mà (2,3)=1\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮2.3=6\Rightarrow2n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮6\forall n\in Z\)

\(24⋮6\Rightarrow24n⋮6\forall n\in Z\)

\(\Rightarrow2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+24n⋮6\forall n\in Z\)

\(\Rightarrow2n^3+22n⋮6\forall n\in Z\)

 

\(\)