Question

chứng minh 1234^30 - 1388 chia hết cho 2014

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

$1234\equiv -1\pmod {19}$

$\Rightarrow 1234^{30}\equiv (-1)^{30}\equiv 1\pmod {30}$

$\Rightarrow 1234^{30}-1388\equiv 1-1388\equiv -1387\equiv 0\pmod {19}$

$\Rightarrow 1234^{30}-1388\vdots 19(*)$

Hiển nhiên $1234^{30}-1388\vdots 2$ (do là hiệu của 2 số chẵn) $(**)$

$1234\equiv 15\pmod {53}$

$\Rightarrow 1234^{30}\equiv 15^{30}\pmod {30}$

$\equiv (15^2)^{15}\equiv 13^{15}=(13^3)^5\equiv 24^5$

$\equiv (24^2)^2.24\equiv 46^2.24\equiv 10\pmod {53}$

$\Rightarrow 1234^{30}-1388\equiv 10-1388\equiv 0\pmod {53}$

Hay $1234^{30}-1388\vdots 53(***)$

Từ $(*); (**); (***)$ mà $2,19,53$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $1234^{30}-1388\vdots (2.19.53=2014)$