Đặt \(\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=5k\\b=6k\\c=7k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(5k-6k\right)\left(6k-7k\right)=4.\left(-k\right).\left(-k\right)=4k^2\)(1)
và \(\left(c-a\right)^2=\left(7k-5k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có;
\(\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=b-c\\c-a=-2\left(b-c\right)=-2\left(a-b\right)\end{cases}}\)
\(\left(c-a\right)^2=-2\left(a-b\right)\cdot-2\left(b-c\right)=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)(đpcm)
