Cho△ABC nhọn có AB<AC nội tiếp đường tròn O. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt BC tại S, gọi M là trung điểm BC và K là chân đường vuông góc hạ từ D xuống SO
a) CMR: BFEC nội tiếp và SF.SE=SB.SC
b)CMR: Tia DH phân giác của góc FDE và góc SDF= góc SEM
Giúp mình giải câu b) ý 2 với ạ
a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)
mà \(\hat{BFE}+\hat{SFB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{SFB}=\hat{SCE}\)
Xét ΔSFB và ΔSCE có
\(\hat{SFB}=\hat{SCE}\)
góc FSB chung
Do đó: ΔSFB~ΔSCE
=>\(\frac{SF}{SC}=\frac{SB}{SE}\)
=>\(SF\cdot SE=SB\cdot SC\)
b:
Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CDHE là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{FDH}=\hat{FBH}\) (BFHD nội tiếp)
\(\hat{EDH}=\hat{ECH}\) (EHDC nội tiếp)
mà \(\hat{FBH}=\hat{ECH}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)
nên \(\hat{FDH}=\hat{EDH}\)
=>DH là phân giác của góc FDE
Ta có: \(\hat{FEH}=\hat{FAH}\) (AEHF nội tiếp)
\(\hat{DEH}=\hat{DCH}\) (CEHD nội tiếp)
mà \(\hat{FAH}=\hat{DCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{FEH}=\hat{DEH}\)
=>EH là phân giác của góc FED
=>\(\hat{FED}=2\cdot\hat{DEH}=2\cdot\hat{FEH}=2\cdot\hat{FEB}\) (2)
ΔBFC vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên FM=MB=MC
Xét ΔMCF có \(\hat{BMF}\) là góc ngoài tại đỉnh M
nên \(\hat{BMF}=\hat{MFC}+\hat{MCF}=\hat{MCF}+\hat{MCF}\)
=>\(\hat{BMF}=2\cdot\hat{MCF}\)
=>\(\hat{DMF}=2\cdot\hat{MCF}=2\cdot\hat{BCF}\)
mà \(\hat{BCF}=\hat{BEF}\)
nên \(\hat{DMF}=2\cdot\hat{BEF}\) (1)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{FMD}=\hat{FED}\)
=>FEMD là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FDM}+\hat{FEM}=180^0\)
mà \(\hat{FDM}+\hat{SDF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{SDF}=\hat{SEM}\)
